PID y sintonía

Lazo cerrado con P, I y D, y la receta práctica de sintonía

Del lazo cerrado al PID

En el post de fundamentos vimos planta, error y por qué cerrar el lazo. Aquí entra el regulador de verdad: cómo el proporcional gana robustez, por qué no basta, y qué aportan integral y derivada — más la receta de sintonía que se usa en planta.

Qué gana exactamente el lazo cerrado (con P)

Cerrando el lazo con un proporcional sobre la planta de primer orden:

$$y_{ss} = \frac{K K_p}{1 + K K_p}\,r \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{e_{ss}}{r} = \frac{1}{1 + K K_p}$$

El error ya no depende solo de $K$, sino de $K K_p$. Con $K_p$ grande, $K K_p/(1+K K_p)\to 1$ sea cual sea $K$: toleras no conocer bien la planta.
La perturbación se atenúa por el mismo factor $1/(1+K K_p)$.

$$\tau' = \frac{\tau}{1 + K K_p}$$

Subir $K_p$ además acelera el sistema (el polo se va a la izquierda). El controlador, en el fondo, mueve polos.

El error que el proporcional no puede matar

$1/(1+K K_p)$ nunca es cero con $K_p$ finito: si $e=0$, entonces $u=K_p e=0$ y no hay nada que sostenga la salida. Hace falta un término que acumule el pasado — la acción integral:

$$u(t) = K_p\,e(t) + K_i\int_0^t e(\sigma)\,d\sigma$$

Mientras quede error, la integral crece. Eso anula el error en régimen (también con perturbación). El precio: un polo más y, a menudo, sobreoscilación.

Anticipar: la acción derivativa

$$u(t) = K_p\,e(t) + K_i\int_0^t e(\sigma)\,d\sigma + K_d\,\dot e(t)$$

En un escalón, $\dot e$ lleva un impulso (patada derivativa). Aquí tomamos la derivada sobre la medida, $-K_d\,\dot y$. El denominador del lazo pasa a ser $(\tau + K K_d)\,s^2 + (1+K K_p)\,s + K K_i$. El D es útil sobre todo cuando la planta ya oscila: actúa como amortiguador.

La receta práctica: fijar unas y mover la otra

En planta casi nadie sintoniza las tres a la vez. La receta clásica va en cascada:

Pon $K_i = 0$ y $K_d = 0$ (solo P).
Sube $K_p$ hasta el borde de la oscilación (o un pelín antes).
Baja un poco $K_p$ (a menudo ~la mitad del valor límite).
Sube $K_i$ para matar el error en régimen; para cuando se ponga nervioso.
Añade $K_d$ para amortiguar. Si mete ruido, bájalo o filtra la derivada.

Regla mental: P = ahora, I = pasado, D = tendencia.

Ziegler–Nichols (lazo cerrado): subes $K_p$ hasta oscilación sostenida, anotas la ganancia crítica $K_u$ y el periodo $P_u$, y sacas las ganancias de una tablita. Misma idea que la receta de arriba, pero con números. En muchos lazos reales basta un PI.

Regulador	$K_p$	$T_i$	$T_d$
P	$0{,}5\,K_u$	—	—
PI	$0{,}45\,K_u$	$P_u/1{,}2$	—
PID	$0{,}6\,K_u$	$P_u/2$	$P_u/8$

Con la forma paralela del simulador: $K_i = K_p/T_i$ y $K_d = K_p T_d$. Referencia histórica del método cuantitativo: Ziegler y Nichols (1942).

$K$ — ganancia real de la planta 0.65

$\tau$ — constante de tiempo (s) 3.00

$K_p$ — ganancia proporcional 12.00

$K_i$ — ganancia integral 0.00

$K_d$ — ganancia derivativa 0.00

mostrar el lazo abierto para comparar perturbación a mitad del ensayo mostrar la acción de control $u$

Respuesta al escalón — las dos estrategias a la vez

consigna $r$ lazo cerrado lazo abierto acción $u$ (cerrado)

La zona sombreada es el error respecto a la consigna: cuanto más rojo se ve, peor lo hace el lazo abierto.

Dónde están los polos

× amarillo: polo de la planta sola (= lazo abierto) · × azul: polos del lazo cerrado

error antes de la perturbación — abierto: – cerrado: – predicción $1/(1+KK_p)$: –

caída por la perturbación — abierto: – cerrado: – $\tau'$ del lazo: –